导读：二阶导数公式是对函数求两次导数得到的公式。对于一般函数 $y = f(x)$，其二阶导数表示为 $y$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。1. **基本公式**： - 如果 $y = f(x)$ 的一阶导数为 $f(x)$，则...
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二阶导数公式是对函数求两次导数得到的公式。
对于一般函数 $y = f(x)$，其二阶导数表示为 $y''$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
1. **基本公式**：
- 如果 $y = f(x)$ 的一阶导数为 $f'(x)$，则二阶导数为 $f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x))$。
2. **常见函数的二阶导数**：
- 对于 $y = x^n$，其一阶导数为 $y' = nx^{n-1}$，二阶导数为 $y'' = n(n-1)x^{n-2}$。
- 对于 $y = e^x$，其一阶导数为 $y' = e^x$，二阶导数为 $y'' = e^x$。
- 对于 $y = \ln x$，其一阶导数为 $y' = \frac{1}{x}$，二阶导数为 $y'' = -\frac{1}{x^2}$。
- 对于 $y = \sin x$，其一阶导数为 $y' = \cos x$，二阶导数为 $y'' = -\sin x$。
- 对于 $y = \cos x$，其一阶导数为 $y' = -\sin x$，二阶导数为 $y'' = -\cos x$。
3. **链式法则**：
- 如果 $y = f(g(x))$，则 $y'$ 可通过链式法则求得为 $f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
进一步求二阶导数时，应用乘积法则和链式法则：$y'' = f''(g(x))(g'(x))^2 + f'(g(x))g''(x)$。
4. **隐函数求导**：
- 对于隐函数 $F(x, y) = 0$，可以通过对方程两边同时求导来找到 $y'$ 和 $y''$。
5. **参数方程**：
- 如果 $x = \varphi(t)$ 和 $y = \psi(t)$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$，二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 可以通过商式法则求得。
**例题**：
求 $y = x^3 + 2x^2 + x$ 的二阶导数。
**解答**：
- 一阶导数：$y' = 3x^2 + 4x + 1$- 二阶导数：$y'' = 6x + 4$**练习题**：
1. 求 $y = \sin(2x)$ 的二阶导数。
2. 求 $y = \ln(1 + x^2)$ 的二阶导数。
希望这些解释和例题能帮助你理解二阶导数的概念和计算。
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