导读：指数分布的期望是参数 $\lambda$ 的倒数。这个期望值描述了随机变量取值的平均水平。1. **概率密度函数**： - 对于指数分布，其概率密度函数通常表示为： $$f(x;\lambda) = \lambda e...
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指数分布的期望是参数 $\lambda$ 的倒数。
这个期望值描述了随机变量取值的平均水平。
1. **概率密度函数**：
- 对于指数分布，其概率密度函数通常表示为： $$f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$ - 其中，$\lambda$ 是指数分布的参数，也称为率参数。
2. **期望的计算**：
- 期望（均值）是概率密度函数在整个定义域上的积分，乘以对应的 $x$ 值。
对于指数分布，其期望 $E(X)$ 可以通过以下公式计算： $$E(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x;\lambda) \, dx$$ - 将 $f(x;\lambda)$ 的表达式代入上式，得到： $$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$$3. **积分运算**：
- 通过积分运算，我们可以得到： $$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$因此，指数分布的期望是参数 $\lambda$ 的倒数。
这个结论在高等数理统计中非常重要，因为它提供了关于指数分布随机变量平均行为的有用信息。
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